Algèbre linéaire Exemples

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Étape 2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Étape 2.6

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Étape 2.7

Additionnez $0$ et $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Étape 2.8

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

Étape 2.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 8$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Étape 4

L’équation a une fraction indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Déterminez le quadrant.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Étape 5.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Étape 5.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$(0, 1 \cdot 8)$

Étape 5.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$(0, 8)$

Étape 5.5

Comme la coordonnée y est positive et la coordonnée x est $0$ , le point se situe sur l’ordonnée entre le premier et le quatrième quadrant. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Entre le quadrant $1$ et $2$

Étape 6

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 7

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 7.1

Associez ${(8)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.2

Associez $c$ et $\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Étape 7.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Étape 7.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 7.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Étape 7.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Étape 7.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 8

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 8.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.4

Évaluez l’exposant.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.5

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 8.5.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Étape 8.5.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Étape 9

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.4

Évaluez l’exposant.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Étape 10

Remplacez $k = 2$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.4

Évaluez l’exposant.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Étape 11

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$